图 DUE（Deep Unknown Equations）框架与开源库的示意图
在国家自然科学基金项目（批准号：92370108、12171227）等资助下，南方科技大学数学系吴开亮副教授团队与海外合作者在应用数学与人工智能交叉领域取得进展，建立了一套面向“未知方程”建模的深度学习通用框架与开源软件库——Deep Unknown Equations（DUE）。研究成果以“DUE: A Deep Learning Framework and Library for Modeling Unknown Equations”为题，于2025年11月6日在线发表在应用数学领域国际学术期刊《SIAM评论》（SIAM Review）上，论文链接：https://doi.org/10.1137/24M1671827。
微分方程等方程模型是描述自然现象与预测复杂系统演化的基础工具，在流体力学、化学反应、生物系统、气候与工程等领域发挥着关键作用。然而，许多前沿科学问题的系统内在机理极其复杂，难以基于“第一性原理”推导出明确的控制方程，这种“数据丰富但方程未知”的情形普遍存在。
针对上述问题，研究团队从“流映射学习”（Flow Map Learning）视角出发，构建了未知时变方程的智能推演通用框架DUE。与侧重于回归方程右端项的传统方法不同，DUE不预设方程形式，通过深度神经网络直接学习系统的演化算子（流映射），并以递归调用实现长时间的动力学推演与预测。该思路从根本上避免了瞬时导数的数值微分误差和候选函数库受限的影响，有助于提升模型在噪声数据与稀疏采样场景下的鲁棒性。该框架打破了常微分方程、偏微分方程、积分微分方程等不同类型方程的壁垒，既可用于未知方程的智能推演，也可用于已知但求解代价高的复杂方程代理建模。
针对未知方程建模的关键需求，该框架集成了残差网络、广义残差网络、算子半群网络以及基于Transformer的算子学习方法等现代深度学习技术，并提供高度模块化的Python开源库，使用户以极少代码即可完成数据处理、网络构建与训练预测等流程。针对多尺度与刚性动力学等典型难题，团队进一步提出双路算子半群网络（Dual-OSG-Net）等新架构，利用门控机制自适应融合不同时间尺度的动力学特征，进一步提升模型在长时递推预测中的稳定性与可靠性。
该工作从“统一建模范式—关键算法结构—开源软件生态”三个层面，为未知方程的数据驱动建模提供了系统化方案，有望推动面向科学计算与自然科学研究的可解释、可通用人工智能方法的发展与应用。