近日，南方科技大学前沿与交叉科学研究院风险分析预测与管控研究院院长DidierSornette研究团队在《物理评论快报》（Physical Review Letters）再次发表自激励霍克斯过程（Hawkes Process）理论及其非线性泛化研究的最新成果。过去一年间，该团队由于霍克斯过程的进展已经在《物理评论快报》（Physical Review Letters）连续发表了3篇论文，在《物理评论研究》（Physical Review Research）连续发表了2篇论文。

　　上世纪七十年代早期，Hawkes在其论文中提出了自/互激励过程（self/mutual-exciting process）。非马尔可夫（具有记忆特性）自激励点过程的主要特征是任意历史事件的发生都会长时间影响未来事件发生的概率，并可能导致临界突发事件，霍克斯过程就是其中一个例子。霍克斯过程中的事件可以是非晶态半导体或与光电导性相关的有机化合物中的电子爆发、集水区的降雨或径流、地震、流行病、癫痫发作、公司破产或信用违约、金融波动、外汇市场交易、图书销售、观看b站/YouTube视频或任何其他社会动态事件。

　　标准的线性自激励霍克斯点过程是间歇性突发动力学的一阶非马尔可夫随机模型。非线性霍克斯过程则被引入以更好描述事件间的激励（正反馈）和抑制（负反馈）效应。虽然非线性霍克斯过程已在诸多领域被应用，如解释地震活动性和金融波动的多重分形特性，但由于非马尔可夫性和非线性的复杂相互作用，导致难以对其做解析处理。该模型的非马尔可夫性一直是发展统一分析理论框架的阻碍，这导致非线性霍克斯过程的一般形式几乎没有被认真研究过。另一方面，从语言学、社会学、经济学、计算机科学再到基本上所有的自然科学中普遍存在的具有幂律尾部的概率分布函数的起源也是值得探索的问题。

图1.将一维非马尔可夫过程转换为无限维马尔可夫场动力学的马尔可夫嵌入（Markov embedding）法示意图。

　　受阿伦尼乌斯方程活化过程的启发，Sornette院士研究团队通过引入一类以快速加速强度作为“张力（tension）”函数的非线性自激励霍克斯点过程，将上述两个问题结合在一起。利用其团队之前发展的、旨在将初始的低维非马尔可夫随机过程转换为高维马尔可夫场动力学的马尔可夫嵌入（Markov embedding）法，该文利用场主方程（fieldmasterequation）呈现了非线性霍克斯过程的各种精确和稳健的渐进解，并考察了第一个适用于各种形式非线性霍克斯过程的显式解。

　　该团队利用一大类记忆核验证了非线性霍克斯过程具有三个稳健的渐进特征（相关结果已在线预发表）。通过求解相应主方程，发现相应的非线性霍克斯过程具有由幂律描述的强度概率密度函数。该理论发现表明非线性自激励机制可以解释幂律的普遍性。特别地，他们发现在具有零均值的标识（mark）分布情况下，非线性霍克斯过程具有渐近的普遍齐夫（Zipf）定律。这揭示了包括齐夫定律在内的幂律的产生新机制，并提供了对其普遍性的新理解。由于非线性霍克斯过程可能有各种形式，其控制参数也多种多样，因此对其在场主方程渐进分析中的解进行分类以研究各种非线性霍克斯过程将是一个值得探索的新方向。

　　以上文章第一作者为日本筑波大学教授Kiyoshi Kanazawa，通讯作者为DidierSornette，该工作部分环节得到了国家自然科学基金资助。

　　论文链接：

　　1.https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.127.188301.

　　2.https://arxiv.org/abs/2110.01523.