图1 物理知识嵌入深度学习模型示意图
在国家自然科学基金项目（批准号：92270118、62276269）等资助下，中国人民大学孙浩教授和中国科学院大学刘扬教授等课题组合作，提出面向复杂时空动力系统数据驱动建模和知识发现的新型机器学习方法。相关研究成果以“基于物理编码学习反应扩散过程（Encoding physics to learn reaction-diffusion process）”为题，于2023年7月17日发表在《自然•机器智能》(Nature Machine Intelligence)。论文链接：https://www.nature.com/articles/s42256-023-00685-7。
由于先验知识有限，且系统变量的非线性过程难以用明确的偏微分方程（PDE）描述，复杂时空动力系统的建模和仿真是一项具有挑战性的任务。常见的机器学习方法需要依赖大量训练数据，且存在可解释性差、泛化性弱、误差不可控等问题，通过将先验物理知识（例如控制方程）作为约束加入深度学习模型，有效地增强了模型的可解释性，缓解了对于数据的依赖性。
研究团队提出了一种新的物理知识嵌入深度学习架构（PeRCNN），用于PDE正反问题求解、非线性时空动力系统建模和控制方程发现（图1）。PeRCNN可以将先验物理知识结构编码到网络中，采用了时空学习范式，建立一个通用且鲁棒学习模型，能够保证所得到的网络严格服从给定的先验物理知识(例如PDE结构、初始和边界条件)，使得网络具有可解释性。PeRCNN通过循环卷积神经网络对给定的物理结构进行编码，有效提高了在稀疏和噪声数据情况下学习复杂时空动力学的能力。
该研究工作还成功地将 PeRCNN 与稀疏回归算法相结合，解决潜在PDE的发现问题（图2），可从学习模型中提取控制底层物理机制的解析表达式。提出的耦合方案使得模型能够迭代优化网络参数，并对发现的PDE结构和系数进行微调，获得最终PDE的简约表达形式，从稀疏带噪声的测量数据中准确可靠地发现潜在的物理定律。
图2 控制偏微分方程发现流程图
该研究成果为复杂时空动力系统数据驱动建模和知识发现领域带来了新进展，为科学家和工程师提供了更强大的工具来理解和预测自然和工程现象。这种结合了深度学习和先验物理的方法，有望在多个学科领域应用中发挥重要作用，包括流体力学、生物化学、环境科学、工程学、材料科学等。