——　第二部分 国家自然科学基金项目成果巡礼　——

　　中国科学院数学与系统科学研究院黄飞敏研究团队在国家杰出青年科学基金项目和科技部“973”计划等项目的支持下，经多年潜心研究，与香港城市大学杨彤教授合作，在著名的希尔伯特第六问题研究上取得了新进展，该成果以71页篇幅于2013年发表在国际著名数学杂志SIAM Journal on Mathematical Analysis上。

　　希尔伯特是二十世纪最伟大的数学家之一。1900年，希尔伯特在巴黎举行的第2届国际数学家大会上提出了23个重要问题供20世纪的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。这23个数学难题基本主导了整个20世纪数学的发展并对21世纪的数学发展仍有重要影响。著名的希尔伯特第六问题“Mathematical treatment of the axioms of physics”的核心内容之一就是指数学上严格证明从玻尔兹曼方程到宏观流体力学方程组的流体动力学极限。玻尔兹曼方程被用于描述稀疏气体分子的运动规律，是统计力学的基本方程。从玻尔兹曼方程到流体力学方程组的流体动力学极限的研究最早可追溯到麦克斯韦尔和玻尔兹曼。1912年，希尔伯特提出了玻尔兹曼方程的希尔伯特展开方法，从形式上说明了玻尔兹曼方程的一阶近似是可压缩欧拉方程。但是从数学上严格证明这一极限过程具有很大的挑战性。

　　当可压缩欧拉方程具有光滑解时，该问题的研究已经有丰富的成果，如Caflisch、Lachowicz、Nishida、Ukai-Asona等人的工作。然而，可压缩欧拉方程是典型的双曲守恒律方程组，无论其初值多么光滑，解一般会在有限时间内发生爆破，产生激波，这给分析带来了很大的困难。众所周知，可压缩欧拉方程的黎曼解是研究一般奇异解的基石，它通常由3种基本波（激波、稀疏波和接触间断波）复合而成。因此在黎曼解情形下严格证明玻尔兹曼方程到可压缩欧拉方程的流体动力学极限是研究一般情形的基础，具有基本的重要性。

　　当黎曼解具有单种激波、稀疏波时，该问题的流体动力学极限分别被S.H.Yu、辛周平等人解决。2010年黄飞敏研究员、团队成员王益副研究员和杨彤教授合作成功解决了单个接触间断波情形。接着他们再接再厉，解决了由稀疏波和接触间断波组成的复合波情形。在此基础上，他们决定研究一般黎曼解情形，其中最典型的情形是由3种不同的基本波，即激波、稀疏波和接触间断波组成的复合波。其主要研究困难在于激波是压缩波、稀疏波是膨胀波而接触间断波是扩散波，针对不同基本波的研究框架互相不兼容。2011年王勇博士加入了研究团队。在经过多次尝试以后，他们决定利用激波的框架来研究所有的基本波，但由此带来的困难是由稀疏波和接触间断波及它们相互作用产生的误差太大，很难控制。对此，他们巧妙地构造了2个双曲波以去掉以上误差，并利用尺度变换和适当的先验估计解决了一般黎曼解情形。这一研究在希尔伯特第六问题上取得了重要进展。

　　该研究得到国家杰出青年科学基金项目的资助。