国家自然科学基金委员会-2005年度报告

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第二部分　国家自然科学基金项目成果巡礼
　

　　科学计算是一门具有广泛应用的新兴交叉学科，科学计算中的许多问题往往归结为偏微分方程的计算。偏微分方程的求解通常先对求解的区域进行网格剖分，然后在该网格上利用有限元方法、有限差分法或者有限体积方法进行离散求解。由于方程的解事先未知，传统的网格剖分方法是经验性的，这对于复杂的工程技术问题特别是非线性问题往往效率很低，极大地限制了各种离散方法的应用范围。

　　自适应有限元方法是一种根据问题解的性质和所需求解精度自动调整有限元网格的偏微分方程的具有最优计算复杂性的离散方法。这种方法以有限元后验误差分析为理论基础，具有应用范围广且易于软件化等优点，现已成为科学计算的研究焦点之一。在国家自然科学基金的连续资助下，特别是在国家杰出青年科学基金的资助下，中国科学院数学与系统科学研究院陈志明研究员领导的研究组对椭圆变分不等式、超导数学模型、连续铸钢模型、电磁散射问题和非饱和水流运移Richards方程等非线性问题的后验误差分析和自适应进行了系统和深入的研究，取得一系列重要进展。

　　1.无界区域上的电磁散射问题的计算是一个得到广泛关注的重要研究课题。1994年提出的完美匹配层（PML）技术提供了在有限元框架下解决电磁散射问题的新途径，是当前国际相关研究的焦点。陈志明研究员等针对光栅问题、二维声波的散射问题提出和发展了自适应PML技术，即利用后验误差分析来确定PML参数的新思想，克服了工程界经验性选取参数的缺点，具有很重要的理论意义和应用前景。

　　2.非线性对流扩散方程在流体力学计算中具有广泛应用。陈志明研究员等针对非饱和流的非线性Richards方程，利用“边界层序列”技巧，首次将非线性守恒律方程后验误差分析的著名的Kruzkov技巧推广到带有边界条件的双曲抛物耦合非线性方程上，成功地得到传统方法无法得到的新结果。在此基础上，陈志明研究员发展了一个求解非线性对流扩散方程的自适应线方法（Method of Line），大量的计算结果发现该方法对于发展方程具有最优的计算复杂性。虽然自适应方法对于椭圆问题的最优计算复杂性早已为人熟知，但是对于发展方程，自适应线方法具有最优计算复杂性却一直未得到研究，陈志明研究员等的发现具有重要意义，它澄清了对于抛物型方程自适应线方法比自适应时空有限元方法更优越的问题。

　　陈志明研究员等人的关于偏微分方程自适应有限元方法的创新性工作得到国际同行的好评，他被邀请将在2006年西班牙国际数学家大会作45分钟报告。