我校物理学院声学研究所刘晓峻教授和程营教授课题组在拓扑声子晶体研究方面取得重要进展，他们将非厄米性与二阶拓扑声子晶体相结合，得到了能量集中在声子晶体拐角处的角态，并且可以通过改变非厄米强度调节角态能量的衰减或增强，相关研究成果以《Non-Hermitian Sonic Second-Order Topological Insulator》为题于2019年5月15日在线发表在国际权威期刊Physical Review Letters [Phys. Rev. Lett. 122, 195501 (2019)]。南京大学物理学院博士研究生张志旺为论文第一作者，程营教授、刘晓峻教授及西班牙马德里卡洛斯三世大学Johan Christensen教授为论文的共同通讯作者。

近十年来，具有无反射边界传输特性的拓扑边界态这一概念被广泛的引入到经典波系统中，比如光波、声波和弹性波体系，实现了经典波中的类量子效应和单向无损传输。刘晓峻教授和程营教授课题组近年来在拓扑声子晶体研究方面取得了一些突破进展，比如在声子晶体中发现声学旋转多极子模式，并且成功构造无背景流速场中的声拓扑绝缘体 [Phys. Rev. Lett. 118, 084303 (2017); Phys. Rev. B 96, 241306(R) (2017)]，利用声学谷霍尔拓扑绝缘体构造了拓扑声学延迟线 [Phys. Rev. Applied 9, 034032 (2018)]，以及具有抗干扰声通信和保密声通信能力的高指向性声学天线 [Adv. Mater. 30, 1803229 (2018)]。

值得注意的是，这些二维空间中的一维拓扑边界态都存在于一阶拓扑绝缘体中，而高阶拓扑绝缘体的概念最近被提出，意味着在d维空间中，(d-n)维拓扑态将存在于n阶拓扑绝缘体中。以二阶拓扑绝缘体为例，能量集中在拐角处的拓扑角态（corner state, 0维拓扑态）将存在于二维空间中，能量集中在边上的拓扑铰链态（hinge state, 1维拓扑态）将存在于三维空间中。南京大学课题组与国外课题组合作提出了一种基于二维声子晶体的二阶拓扑绝缘体，并且将其与宇称时间对称性（parity-time symmetry）声学相结合，通过改变非厄米强度和排列方式调节角态能量的变化。首先，构建一个正方晶格声子晶体如图1(a)所示，取包含四个单元的元胞，根据能带折叠理论可得图1(b)所示的色散曲线。然后，通过收缩和扩大元胞内单元间距D打破能带简并形成带隙。研究发现，带隙附近的高对称点X点所对应的声压场分布呈现出类似电子s/p/d轨道的对称形式，而对应点的对称性将随着收缩单元间距（D/a < 0.5，如图1(c)）到扩大单元间距（D/a > 0.5，如图1(d)）发生反转。通过计算二维Zak相位，研究人员发现单元间距（D/a < 0.5）收缩时，Zak相位为零，即为拓扑平庸态（trivial），而单元间距（D/a > 0.5）扩大时，Zak相位为(π, π)，即为非平庸态（nontrivial）。

研究人员在厄米系统中设计了一种“回”形声子晶体（即中心区域为非平庸态，四周包裹平庸态结构）来实现拓扑角态。如图2(a)-2(b)所示，在打开的带隙中间存在着边界态（edge states），赝铰链态（pseudo-hinge states）和角态（corner states），并且其本征频率均为实数。从图2(c)-2(d)所示的本征模式场分布中可以发现赝铰链态的能量平行分布在边界上，具有同一本征频率角态的能量集中在四个拐角点，即实现了二维声学系统中的二阶拓扑绝缘体。进一步，将非厄米性和二阶拓扑绝缘体相结合，通过引入增益（Gain）和损耗（Loss）来打破PT对称性。如图3所示，增益和损耗平行排列，正方晶格的色散曲线在平行方向产生了复共轭能带，在“回”形声子晶体中原本征频率为实数的赝铰链态和角态也产生了复共轭对，比如能量集中在右上角和右下角的角态（C₁/C₃）具有正的虚部，将表现为声衰减态；而能量集中在左上角和左下角的角态（C₂/C₄）具有负的虚部，将表现为声增强态。

如果将增益和损耗单元沿对角排列，如图4所示，发现复共轭的角态依旧存在，而声衰减角态和声增强角态的分布形式产生了变化：能量集中于左上角和右下角的角态具有正的虚部，将表现为声衰减态；能量集中于右上角和左下角的角态具有负的虚部，将表现为声增强态。进一步研究发现，一旦平行排列增益/损耗单元时，整个系统将处于PT对称性打破的状态，并且本征频率虚部随着非厄米强度的增加而线性增加，如图5(a)-5(b)所示。但是在对角排列增益/损耗单元（图5(c)-5(d)），当非厄米强度达到0.0184时，出现了奇异点（EP点），意味着在此之前系统处于PT对称状态，两个角态的本征频率为实数。而当跨过EP点之后，系统处于PT对称性破缺状态，两个角态的本征频率实部简并，而虚部分裂形成复共轭对，进而产生声衰减角态/声增强角态。

该工作将拓扑声学的理论与PT对称声学相联系，为非厄米系统中的声传输操控提供了新的思路。

该项工作得到国家重大科学研究计划（2017YFA0303702）、人工微结构科学与技术协同创新中心、国家自然科学基金、江苏省杰出青年基金、国家留学基金委和南京大学博士研究生创新创意研究计划项目的支持。

图1：(a)-(b) 正方晶格声子晶体示意图及其能带图。(c)-(d) 通过缩小单元间距和扩大单元间距实现带隙的打开以及能带的反转。

图2：(a)-(b) 厄米系统中“回”形声子晶体的本征频率的实部和虚部。(c)-(d) 赝铰链态（pseudo-hinge states）和角态（corner states）对应的本征模式。

图3：(a) 非厄米系统中平行排列增益/损耗后对应的正方晶格的能带图。(b) 非厄米系统中“回”形声子晶体的结构。(c)-(d) 对应的本征频率的实部和虚部。(e)-(f) 赝铰链态（pseudo-hinge states）和角态（corner states）对应的本征模式。

图4：(a) 非厄米系统中对角排列增益/损耗后对应的正方晶格的能带图。(b) 非厄米系统中“回”形声子晶体的结构。(c)-(d) 对应的本征频率的实部和虚部。(e) 角态（corner states）对应的本征模式。

图5：(a)-(b) 平行排列增益/损耗情况下本征频率和非厄米强度β的关系。(c)-(d) 对角排列增益/损耗情况下本征频率和非厄米强度β的关系。

（物理学院 科学技术处）